Hologrammes de phase pour les trois

Jun 07, 2023

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 9160 (2023) Citer cet article

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Les forces de rayonnement acoustique peuvent manipuler à distance les particules. Les forces d'un champ d'ondes stationnaires alignent des particules à l'échelle microscopique le long des emplacements nodaux ou antinodaux du champ pour former des motifs tridimensionnels (3D). Ces modèles peuvent être utilisés pour former des microstructures 3D pour des applications d'ingénierie tissulaire. Cependant, la génération d'ondes stationnaires nécessite plus d'un transducteur ou d'un réflecteur, ce qui est difficile à mettre en œuvre in vivo. Ici, une méthode est développée et validée pour manipuler des microsphères à l'aide d'une onde progressive à partir d'un seul transducteur. La théorie de la diffraction et une approche itérative du spectre angulaire sont utilisées pour concevoir des hologrammes de phase afin de façonner le champ acoustique. Le champ reproduit une onde stationnaire et aligne les microsphères de polyéthylène dans l'eau, qui sont analogues aux cellules in vivo, aux nœuds de pression. En utilisant le potentiel de Gor'kov pour calculer les forces de rayonnement sur les microsphères, les forces axiales sont minimisées et les forces transversales sont maximisées pour créer des modèles de particules stables. Les champs de pression des hologrammes de phase et les modèles d'agrégation de particules résultants correspondent aux prédictions avec un indice de similarité des caractéristiques > 0,92, où 1 est une correspondance parfaite. Les forces de rayonnement résultantes sont comparables à celles produites à partir d'une onde stationnaire, ce qui suggère des opportunités pour la mise en œuvre in vivo de la structuration cellulaire vers des applications d'ingénierie tissulaire.

La manipulation à distance des microparticules est importante pour les applications sans contact, notamment la microfabrication et la nanofabrication, les technologies de laboratoire sur puce et l'ingénierie tissulaire. L'ingénierie tissulaire offre une approche alternative pour remplacer les organes ou tissus blessés ou malades1,2. La structuration spatiale des cellules en microstructures pour former des assemblages bidimensionnels et tridimensionnels (2/3D) est essentielle pour fournir une forme ou une structure pour la régénération tissulaire complexe3,4,5. Les arrangements cellulaires structurels 3D ont plus de succès dans les applications de tissus d'ingénierie6,7,8. Plusieurs méthodes ont été utilisées pour modeler les cellules in vitro à l'aide de modèles de matrice polymère9 et de bioprinting10. Ces méthodes ont leurs avantages et leurs inconvénients. La bio-impression peut obtenir des formes complexes souhaitées, mais la structure cellulaire est construite point par point, une approche qui prend du temps et qui nécessite une configuration complexe10. Pendant ce temps, les méthodes basées sur la matrice modèlent les moules en modifiant les propriétés de la matrice, ce qui est une méthode plus rapide mais qui ne convient pas aux formes complexes11,12. Une méthode alternative est la manipulation acoustique qui est capable d'organiser à distance un grand nombre de cellules simultanément sans contact physique direct avec les cellules13,14. Les cellules exposées à un champ acoustique dispersent le champ conduisant à une force de rayonnement acoustique qui peut repositionner spatialement la cellule15.

Les forces de rayonnement acoustique ont été appliquées pour une grande variété d'applications de manipulation à distance, telles que les microbulles16 ou les objets solides in vivo17, ou la manipulation sélective d'une seule cellule18 ou de petites particules pour la recherche in vitro19. L'utilisation des forces de rayonnement pour déplacer une masse de particules à partir de structures 3D présente un intérêt particulier. La plupart des alignements 3D rapides et non invasifs de microstructures ont utilisé une onde stationnaire8,20,21,22 générée par un transducteur et un réflecteur, ou plusieurs transducteurs se faisant face. Cette configuration forme des plans alternés d'amplitude de pression nulle et élevée, appelés nœuds et ventres, perpendiculaires à la direction de propagation et espacés à des intervalles d'une demi-longueur d'onde. Les forces de rayonnement acoustique conférées par une onde stationnaire dirigent les microparticules ou les cellules vers les nœuds ou les ventres du champ en fonction de leurs propriétés acoustiques par rapport à celles du milieu environnant23. Pour les applications d'ingénierie tissulaire, la microstructure 3D peut être maintenue en position à l'aide de photopolymères24,25 ou d'un milieu hydrogel26,27,28,29,30. Cette technologie de modelage acoustique est prometteuse en tant qu'outil d'ingénierie tissulaire.

Un objectif important de l'ingénierie tissulaire est d'assembler directement des structures cellulaires in vivo. Il a été précédemment montré qu'un système à deux transducteurs peut générer une onde stationnaire où leurs faisceaux se croisent pour modéliser les cellules endothéliales formant un réseau de microvaisseaux 3D complexe dans un volume d'hydrogel in vitro3,27 et in vivo31 de manière spécifique et non invasive. Cependant, les ondes stationnaires sont difficiles à générer dans certaines régions du corps en raison des limites sur lesquelles les transducteurs peuvent être placés sur le corps pour transmettre le son sans obstruction. À l'inverse, une onde progressive ne peut pas maintenir un motif stable et repousse les particules dans le sens de la propagation. Dans ce travail, nous avons utilisé des hologrammes de phase qui peuvent produire des champs de pression complexes à partir d'un transducteur32 pour créer un modèle d'onde stationnaire 3D similaire à celui utilisé pour former un réseau de microvaisseaux 3D31,33,34. Des travaux antérieurs ont utilisé des hologrammes de phase pour obtenir une structuration complexe des particules 2D avec des forces de rayonnement35 et un flux acoustique36,37, tout en s'appuyant sur des limites pour atténuer les forces de rayonnement d'un seul transducteur en repoussant les particules. Cependant, ces conditions ne peuvent pas être générées dans la plupart des scénarios in vivo.

Ici, nous avons utilisé une lentille holographique avec un transducteur pour assembler des microsphères suspendues en utilisant des forces de rayonnement acoustique uniquement le long d'un modèle 3D prédéfini in vivo-imitant l'environnement tandis que les sphères ne subissent aucune force acoustique de poussée. Notre objectif était d'utiliser un seul transducteur pour créer un champ acoustique de plans parallèles de nœuds de pression et de ventres (Fig. 1a, b) afin de suspendre les particules imitant les cellules dans ce motif sur plusieurs longueurs d'onde dans la distance axiale. Un tel champ est similaire à une onde stationnaire, mais les plans sont parallèles et avec leur normale orthogonale à l'axe acoustique. Pour les particules beaucoup plus petites que la longueur d'onde acoustique, les forces de rayonnement sont prédites par le potentiel de Gor'kov23, où les forces sont proportionnelles aux gradients de pression et de vitesse acoustiques, et aux propriétés relatives de la particule et du milieu. Les particules qui ont une flottabilité neutre - les cellules dans l'eau le sont presque - éliminent les contributions du gradient de vitesse aux forces de rayonnement. Ainsi, les forces de rayonnement et l'alignement des particules dépendent uniquement des gradients de pression. Nous avons conçu des hologrammes de phase en utilisant une méthode analytique et l'approche itérative du spectre angulaire (IASA)32 pour fabriquer des lentilles qui produisent des plans de pression parallèles avec un gradient de pression nul dans la direction axiale sur une région désignée à une distance spécifiée du transducteur. Par conséquent, les forces de rayonnement alignent les microsphères imitant les cellules à flottabilité neutre dans l'eau le long de la distribution plane parallèle souhaitée sans mouvement axial présent dans une cuvette pour imiter les conditions de mise en œuvre in vivo, voir Fig. 1c – f.

Les forces de rayonnement acoustique alignent les particules le long de plans de pression parallèles. Les particules sont dispersées dans un récipient (a) et sont alignées dans un champ d'ondes stationnaires à l'aide d'un transducteur et d'un réflecteur (b). Notre travail utilise un hologramme de phase (c) pour fabriquer une lentille holographique couplée à un transducteur pour créer des plans de pression parallèles à l'axe de propagation des ondes (d). Les plans de pression n'ont pas de gradient de pression axial près de la région d'intérêt zi où le potentiel de Gor'kov est directement proportionnel à l'amplitude de pression pour les particules de densité similaire au milieu environnant (e) et les forces résultantes aligne les microsphères de polystyrène le long des régions de pression nodale (F).

Les résultats ont été produits séparément pour trois transducteurs sur mesure différents, chacun avec une lentille holographique pour synthétiser un champ de pression unique. Les lentilles 1 et 2 étaient fixées à des éléments piézocéramiques carrés de 1,5 MHz de 45 mm, tandis que la lentille 3 était fixée à un élément piézocéramique circulaire de 2 MHz de 35 mm (voir Informations supplémentaires Fig. S3). La lentille 1 était composée de deux rectangles congruents inclinés l'un vers l'autre de θ = 30˚ par rapport à l'horizontale (Fig. 2a,b) avec les rayons acoustiques entrant dans l'eau à un angle d'entrée θw = 13° pour former deux ondes planes se coupant à 2θw. Cette lentille a généré une onde se propageant vers l'avant, avec une composante d'onde stationnaire dans la dimension transversale qui a produit des plans de pression parallèles séparés par do = λ/[2 × sin (θ − θw)] = 2,22 mm où λ est la longueur d'onde acoustique (voir "Méthodes").

Résultats des champs acoustiques holographiques. Chaque ligne représente le résultat de la lentille 1 (en haut), 2 (au milieu) et 3 (en bas). Les colonnes sont des hologrammes de phase (a,e,i) utilisés pour fabriquer les lentilles (b,f,j), la simulation de l'image souhaitée de l'amplitude de pression dans le plan transversal xy (c,g,k) et la mesure du balayage holographique des champs acoustiques au plan image souhaité dans le plan transversal xy (d,h,l). Dans les sous-parcelles des champs de pression acoustique, la bordure blanche pleine délimite l'élément acoustique actif piézocéramique. Le champ produit par la lentille 1 est équivalent à celui de deux sources avec leurs axes acoustiques séparés d'un angle 2θw (b) qui délivre approximativement une onde stationnaire dans la direction transversale (c,d). Les lentilles 2 et 3 ont produit cinq plans axiaux parallèles comme prédit par la simulation (h,l). Pour la lentille 2, les plans extérieurs sont faiblement formés et n'atteignent jamais un éclairage complet (h), tandis que la lentille 3 produit cinq plans avec des plans extérieurs légèrement plus faibles que prévu par la simulation (g, h).

Le champ de pression des lentilles 2 et 3 (Fig. 2g, k) a été généré en utilisant la condition aux limites de phase obtenue auprès de l'IASA (Fig. 2e, i) pour produire l'image de pression souhaitée à 46 et 35 mm de la source. L'IASA itère sur la condition aux limites de phase jusqu'à ce que la convergence soit atteinte pour satisfaire une image de pression cible à l'emplacement spécifié32 (voir "Méthodes"). Un emplacement cible trop proche ou trop éloigné de la source et de l'hologramme de phase ne peut pas synthétiser et maintenir des plans de pression parallèles uniformes sur une certaine distance. Par conséquent, l'emplacement de l'image de pression cible imposée a été placé dans la région de translation du champ, près de l'extrémité de la région de Fresnel et avant la région de diffraction de Fraunhofer. Cette région a permis à l'image cible d'être à une distance où le développement de l'étalement sphérique peut maintenir l'image en forme sur une distance axiale de 2 à 3 λ. Pour les sources dont le rayon effectif est beaucoup plus grand que la longueur d'onde, la région de translation commence avant le dernier maximum d'amplitude de pression sur l'axe38 (voir "Méthodes"). La condition aux limites de phase39 a été déroulée pour obtenir une morphologie continuellement lisse de la surface de la lentille fabriquée (voir Informations supplémentaires).

Une holographie acoustique40 a été réalisée pour balayer les champs de pression produits par les transducteurs couplés aux lentilles holographiques immergées dans l'eau. Le champ a été balayé dans un plan orthogonal à l'axe acoustique par un hydrophone à capsule de 200 μm de diamètre (HGL-0200, Onda Corp., CA, USA) qui a enregistré la forme d'onde dans une grille carrée de points à un maximum de λ/2 espacement de la grille pour tous les transducteurs40. Les formes d'onde enregistrées ont été utilisées pour trouver le spectre angulaire de la lentille holographique et construire la vibration de la source et le champ complexe de pression et de vitesse des particules en 3D (voir "Méthodes").

La figure 2 montre la phase de la source, la lentille holographique et l'amplitude de pression mesurée et simulée à la distance cible souhaitée de la source. L'espacement moyen entre les plans parallèles de la lentille 1 a été mesuré comme étant do = 2,26 ± 0,027 mm avec une erreur de 2,15 ± 1,22 %. En utilisant cette valeur de do, θw a été calculé comme étant de 12,75° ± 0,17°. L'indice de similarité des caractéristiques (FSI)41 fournit une valeur (0–1) sur l'accord entre les modèles mesurés et simulés, 1 étant un accord parfait. Les mesures de pression pour les lentilles 1, 2 et 3 ont atteint un FSI de 0,950, 0,939 et 0,953 respectivement. Le motif de plans parallèles produits à partir de l'objectif 1 s'étendait de 20 à 45 mm dans la direction axiale (Informations supplémentaires Fig. S4), tandis que les images de pression souhaitées des objectifs 2 et 3 étaient formées à 48,0 et 35,6 mm de la source. La différence entre les emplacements de pression imposés et mesurés a été attribuée au décalage entre la vitesse du son dans l'eau et le matériau de la lentille qui n'a pas été pris en compte dans la simulation.

La mesure du champ de pression de la lentille 2 (Fig. 2f) a montré la formation de trois plans distincts, les plans extérieurs ayant une intensité inférieure à celle du centre. Les trois plans s'étendaient sur 2, 5 mm (2, 5λ) avec un niveau de pression égal et uniforme sur l'étendue axiale centrale de 1, 5 mm tandis que la région pré et post-centrale de 0, 5 mm présentait une variance plus élevée entre les niveaux d'intensité des plans (voir Fig. S4). De même, la lentille 3 formait cinq plans axiaux parallèles s'étendant sur 1,5 mm (2λ). Les plans extérieurs avaient un niveau d'intensité relativement inférieur à celui prédit par la simulation (Fig. 2l et voir Informations supplémentaires).

Le potentiel de Gor'kov a été construit à partir des champs de pression et de vitesse mesurés pour prédire les forces de rayonnement acoustique sur les microsphères de polyéthylène (75–90 μm de diamètre) le long de différentes positions spatiales (voir Méthodes). La force de rayonnement a aligné les microsphères dans les plans nodaux, qui sont marqués par des lignes blanches sur la Fig. 3. Dans le plan transversal xy, la force dans la direction x était nulle aux nœuds et ventres (Fig. 3c, g, k ). Les minima locaux du potentiel coïncidaient avec les nœuds de pression où les forces de rayonnement étaient stables et les sphères étaient dirigées vers les nœuds (Fig. 3b, f, j). Les microsphères se sont alignées et ont formé un minimum de 6, 4 et 4 lignes verticales dans le plan xy à partir de la force de rayonnement conférée par les lentilles 1, 2 et 3, respectivement. Le champ de pression produit à partir de la lentille 3 contenait des régions de pression légèrement inférieure à la pression environnante dans un ventre, créant ainsi des minima d'énergie potentielle secondaire où le piégeage s'est produit, comme indiqué par de courtes lignes blanches sur la Fig. 3i – l. La distribution stable des particules a été prédite à partir des minima locaux du potentiel de Gor'kov42, comme le montre la figure 3d, h, l. Les lentilles 2 et 3 présentaient des points de selle d'énergie potentielle42 le long de la dimension y où une petite perturbation pouvait rendre les microsphères instables et se déplacer en y. Cependant, ces points avaient une stabilité xz bidimensionnelle et étaient entourés de régions stables 3D, qui stabilisaient les particules dans ces selles (Fig. 3d, h, l).

Forces de rayonnement acoustique transmises aux microsphères de polyéthylène de 75 à 90 μm de diamètre sous les valeurs de pression acoustique obtenues à la Fig. 2. La direction de la force dans le plan xy pour toutes les lentilles (a, e, i) aligne les sphères en pression nœuds. Les emplacements de force nulle dans le plan xy sont ceux où l'énergie potentielle est au minimum (b, f, j) comme indiqué par les lignes blanches indiquant les positions d'agglomération des particules. La position d'alignement des particules avec stabilité tridimensionnelle est indiquée pour toutes les lentilles (d, h, l) où les points de selle avec stabilité xz (points violets) sont entourés de positions entièrement stables (points roses). La lentille 3 avait des minima locaux supplémentaires où les sphères étaient alignées le long de plans verticaux plus courts entre les principaux plans de stabilité (i–l).

Pour valider les prédictions, nous avons aligné les microsphères dans une cuvette sur mesure fabriquée à partir d'un matériau de membrane acoustiquement transparent (Fig. 4). Les transducteurs ont été immergés dans un réservoir d'eau dégazée avec la cuvette. Quelques gouttes de solution de microsphères (0,032 g/mL) ont été ajoutées à l'intérieur de la cuvette (voir "Méthodes"). La dimension de la cuvette le long de la direction axiale était d'environ 1 cm. Une feuille laser de 1,2 mm d'épaisseur a illuminé le plan transversal d'intérêt pour photographier et enregistrer la suspension et la structuration des microsphères. La pression maximale produite pour l'expérience était de 0,5, 0,6 et 1,7 MPa pour les lentilles 1, 2 et 3 respectivement. Aucun mouvement axial dans la région d'intérêt n'a été observé. La figure 4 montre l'alignement des microsphères entre les ventres pour toutes les lentilles. Toutes les lentilles ont formé des microsphères le long des nœuds comme prévu et illustré sur la figure 3, les lignes extérieures ayant des régions à faible concentration de particules en raison de la plus faible intensité acoustique, donc des forces plus faibles. Les espacements horizontaux entre les lignes pour les lentilles 1 à 3 à partir des mesures de force basées sur l'holographie de la Fig. 3d, h, l sont de 2,34 ± 0,17, 1,75 ± 0,08 et 1,85 ± 0,15 mm, tandis que de la Fig. 4, le les espacements ont été mesurés à 2,37 ± 0,32, 1,57 ± 0,18 et 1,35 ± 0,14 mm, respectivement. Les films supplémentaires S1 à S3 montrent l'alignement des particules à partir de l'exposition acoustique de chaque lentille. L'alignement des sphères dans les régions de piégeage secondaires produites à partir de la lentille 3 a été observé en utilisant une concentration élevée de solution de microsphères pour montrer les ventres par une absence totale de microsphères (voir Fig. Supplémentaires S7; Film S4).

Configuration de l'alignement de la force de rayonnement acoustique des microsphères de polyéthylène dans l'eau (a). Les tracés (b–d) capturent des images d'alignement où les flèches blanches marquent l'emplacement des plans de pression nodaux. La lentille 1 aligne fortement les microsphères le long de six lignes verticales entre les nœuds anti-pression (b). La lentille 2 forme deux lignes verticales de microsphères entre trois plans de pression verticaux antinodaux avec un alignement légèrement plus faible à l'extérieur gauche et le plan d'alignement le plus faible est à l'extérieur droit marqué par des flèches blanches en pointillés (c). De même, la lentille 3 forme 5 plans de pression anti-nodaux avec 4 régions de piégeage verticales entre les deux, le piégeage le plus faible étant situé à l'extérieur à droite et marqué par une flèche blanche en pointillés (d). La barre d'échelle au bas de chaque sous-parcelle (b–d) mesure 1 mm de long. Une concentration élevée de microsphères de polyéthylène a été utilisée pour visualiser l'alignement de la force de rayonnement acoustique et les régions de piégeage secondaires de la lentille 3 en poussant les microsphères des plans anti-nodaux formant une image négative sur la figure S7 et le film S4.

La force nette due au rayonnement et aux forces hydrodynamiques a été calculée pour montrer la trajectoire d'une seule microsphère placée dans l'eau sur l'axe des x à l'emplacement du plan de pression cible avec une amplitude de pression maximale égale à 1 MPa (voir "Méthodes"). La trajectoire de la microsphère à partir de différentes positions initiales le long de x dans le champ acoustique a été tracée à la Fig. 5. Les microsphères placées près de positions stables traduites vers un emplacement nodal, tandis que celles placées près de positions instables près d'un ventre ont été repoussées et flottaient avec une quantité négligeable inertie avant d'atteindre finalement une position stable. La force de rappel nette agissant sur une microsphère pourrait atteindre jusqu'à dix fois son poids, avec une focalisation plus forte de fréquence plus élevée produisant la plus grande force de rayonnement, comme le montre la lentille 3.

Forces normalisées subies par une seule microsphère de polyéthylène située à l'emplacement de l'image de pression cible à différentes positions x de départ pour les lentilles 1 à 3 (a–c). Les forces sont normalisées par le poids de la microsphère dans le vide. La courbe pleine est la force de rayonnement acoustique, les lignes avec des flèches sont la force nette lorsque la position initiale est dans une région stable (cercle plein) ou instable (cercle ouvert) avant l'exposition acoustique. Les emplacements avec une force acoustique de rayonnement de composante x nulle sont marqués par un carré qui montre un équilibre stable (solide) ou instable (ouvert).

Nous avons utilisé des lentilles pour façonner des ondes progressives et aligner des microsphères le long de plans de pression parallèles dans un espace 3D limité à des emplacements spécifiés. La lentille 1 a produit des plans parallèles sur une distance étendue d'environ 25 λ dans le champ proche, similaire à un faisceau de Bessel non diffractant43 qui peut être créé expérimentalement par un axicon44. La lentille 1 et les faisceaux de Bessel partagent des conditions aux limites similaires. Un faisceau de Bessel a une amplitude de vibration axisymétrique et un angle caractéristique, tandis que la lentille 1 a une amplitude de vibration uniforme symétrique autour de l'axe y et un angle d'entrée (voir la dérivation dans les informations supplémentaires). Les lentilles holographiques 2 et 3 ont créé des plans de pression parallèles qui ne s'étendaient que sur 2 à 3 λ, mais permettaient une précision dans la conception de champs de pression 3D et de motifs complexes. Cependant, la mise en forme du champ était confinée à une région de champ proche de la source avant l'étalement du faisceau acoustique, qui se produit à proximité de la distance de Rayleigh définie comme la zone de la source sur la longueur d'onde45. La distance de manipulation est limitée par la taille et la fréquence de la source, tandis que la résolution du modèle de pression la plus élevée est limitée à λ/2. L'analyse de sensibilité des conditions aux limites de la source (voir Informations supplémentaires) a montré une plus grande dépendance à la phase que la condition aux limites d'amplitude pour une plus grande précision du champ de pression. Le déroulement de la phase a produit la condition de limite de phase la plus précise mais a entraîné une atténuation plus élevée, entraînant des forces d'alignement plus faibles des plans extérieurs. Par conséquent, la morphologie de surface choisie pour la lentille était essentielle pour la précision.

La structuration des particules correspondait à notre prédiction théorique et réalisait une suspension de particules sans mouvement dans la direction axiale comme prévu. Nous avons calculé les forces de rayonnement à partir de la pression acoustique maximale de 1 MPa sur les cellules de myofibroblastes embryonnaires de souris34 (avec une densité ρ = 1,05 g/cm3, une vitesse du son c = 1529 m/s et r = 3 μm) des lentilles 1–3 à 2,33 ± 0,350, 4,51 ± 3,16 et 4,62 ± 1,21 piconewtons (pN). Ces valeurs sont comparables à celles indiquées dans la Réf.34 qui atteint 2,2 pN à partir d'un modèle d'onde stationnaire à une amplitude de 0,2 MPa. Ces résultats démontrent la faisabilité de la structuration cellulaire in vivo en utilisant des méthodes de transducteur unique.

Nous avons conçu et fabriqué des lentilles holographiques pour remodeler le champ de pression et produire des plans de pression parallèles à l'axe acoustique et imitant le comportement des ondes stationnaires sur une région limitée éloignée de la surface du transducteur. Le champ de pression a généré des forces de rayonnement acoustique qui ont manipulé les particules de sous-longueur d'onde et les ont dirigées vers les nœuds tout en évitant un mouvement axial indésirable. Les calculs ont montré que les forces produites par l'onde se propageant étaient équivalentes à celles produites par une onde stationnaire, avec des forces jusqu'à dix fois supérieures au poids des particules. Cette technologie a le potentiel pour la structuration cellulaire contrôlée pour la vascularisation in vivo et d'autres applications d'ingénierie tissulaire.

La lentille 1 a été conçue en utilisant deux côtés congruents inclinés se faisant face avec un angle égal à 2θ pour produire une pression en trois dimensions définie par :

où k = 2π/λ, kx, ky et kz sont respectivement les nombres d'onde x, y et z. Et

où \({k}_{1}= {k}_{x}\mathrm{cos}{\theta }_{w}+\sqrt{{k}^{2}-{k}_{x} ^{2}-{k}_{y}^{2}}\mathrm{sin}{\theta }_{w}\), \({k}_{2}= {k}_{x} \mathrm{cos}{\theta}_{w}-\sqrt{{k}^{2}-{k}_{x}^{2}-{k}_{y}^{2}}\ mathrm{sin}{\theta }_{w}\), Lx et Ly sont les dimensions x et y de la source rectangulaire complète, υo est la condition aux limites de vitesse et θw est l'angle d'entrée des rayons acoustiques dans l'eau milieu défini à partir de la loi de Snell, voir les informations supplémentaires pour la dérivation complète de l'équation. (2).

IASA32 a été utilisé pour concevoir les lentilles 2 et 3 en itérant sur la condition aux limites de phase de la source pour atteindre une image de pression cible imposée à une distance axiale spécifique de la source. Pour déterminer l'emplacement de la cible, l'intégrale de Rayleigh45 a été utilisée pour simuler la distribution d'amplitude de pression sur l'axe acoustique. Le dernier maximum d'amplitude de pression a ensuite été choisi comme distance souhaitée. La cible de pression imposée pour chaque lentille était une image binaire de cinq lignes verticales, chacune de 10 mm de hauteur et équidistantes les unes des autres. Les cibles de pression imposées pour chaque lentille sont indiquées dans les informations supplémentaires Fig. S2. La fin de l'itération a été définie comme étant lorsque la différence entre la deuxième norme de la condition aux limites de phase de deux étapes d'itération consécutives est \({\Vert {\phi }_{i}-{\phi }_{i- 1}\Vert}_{2}\)≤ 1e−3.

Une analyse en onde continue (CW)40 du balayage de l'hydrophone au plan z = zp a été utilisée pour enregistrer l'hologramme acoustique de la source et pour construire la pression complexe en 3D (voir Informations supplémentaires). Le spectre angulaire au plan de balayage zp a été défini comme suit :

qui a été utilisé pour construire l'amplitude de pression complexe dans un plan normal à l'axe acoustique situé en zi :

Pour une onde harmonique, l'amplitude complexe de la vitesse des particules est exprimée à partir de l'amplitude complexe de la pression acoustique comme suit :

Par conséquent, la jème composante du vecteur vitesse de l'Eq. (3) est :

Les forces de rayonnement acoustique sur les microsphères sont calculées à partir du potentiel de Gor'kov puisque les sphères sont beaucoup plus petites que la longueur d'onde acoustique (r/λ ≈ 0,1). Pour un sursaut harmonique, la force de rayonnement sur une particule est définie comme suit :

où la notation de sommation d'Einstein est utilisée (voir Informations supplémentaires pour la dérivation). La force est définie comme \(\overrightarrow{F}=-\nabla U\) où le potentiel de Gor'kov U23 est :

Et \(f_{1} = 1 - \frac{{{\text{c}}^{2} \rho }}{{c_{l}^{2} \rho _{*} }}\frac{ 1}{{1 - 4c_{t}^{2} /3c_{l}^{2} \$ }}\) et \({f}_{2}=\frac{2\left({\rho }_{*}-\rho \right)}{(2{\rho }_{*}+ \rho )}\)46.

Le rayon de la microsphère est r, et les vitesses longitudinale et transversale du son, ainsi que la densité sont cl (2566 m/s), ct (1273 m/s) et ρ* (0,922 g/cm3)47, tandis que ρ (1 g /cm3) et c (1500 m/s) sont celles de l'eau environnante, P et \(\overrightarrow{v}\) sont les amplitudes complexes de la pression acoustique incidente et de la vitesse des particules.

Environ 0,3 g de microsphères de polyéthylène ont été placées dans une bouteille en verre avec quelques gouttes de détergent liquide ajoutées comme tensioactif, puis 125 ml d'eau déminéralisée et dégazée ont été ajoutés à la bouteille. Une barre magnétique a été insérée dans la bouteille, et elle a été continuellement agitée par un mélangeur magnétique tout au long des expériences. Les microsphères ont été placées quelques gouttes à la fois dans une cuvette imprimée en 3D à partir de filament d'acide polylactique (PLA) (Ultimaker, Framingham, MA) avec des parois latérales acoustiquement transparentes en polyester de 12,7 μm, film transparent (McMaster-CARR, Elmhurst, IL ). Tous les transducteurs fonctionnaient en mode pulsé, transmettant des impulsions de 100 cycles à un rapport cyclique de 10 %. Les microsphères alignées le long des plans nodaux créaient une diffusion de la lumière et étaient visibles. Une caméra a été placée à l'extérieur du réservoir face au transducteur pour capturer l'alignement. Les images d'alignement présentées sur la figure 4 ont utilisé un seuil de luminosité comme coupure pour améliorer le contraste des régions où les microsphères se sont agglomérées.

Une microsphère de polyéthylène placée dans le champ acoustique subira des forces de rayonnement conférées par le champ acoustique et une traînée hydrodynamique par le fluide en raison du mouvement de la microsphère par rapport au fluide environnant. La sphère subira la traînée de Stokes, la masse virtuelle et les forces historiques de Basset-Boussinesq48. Généralement les forces d'inertie sont minimales et seule la traînée de Stokes est importante49. Cependant, nous avons calculé la masse ajoutée puisque les microsphères ont une densité similaire à l'eau environnante, et avons pris en compte la force historique de Basset – Boussinesq pour tenir compte de l'écoulement instable dû à l'accélération soudaine initiale de la sphère, qui s'est avérée affecter le début du mouvement50. On suppose que le flux de fluide provenant de l'exposition acoustique est minime en raison de la présence des parois de la cuvette51. Ainsi, seul le mouvement de la sphère contribue aux forces de traînée. Les forces de traînée totales sur la sphère sont définies comme suit :

où les termes de gauche à droite sont définis comme la traînée de Stokes, la masse ajoutée et les forces de Basset52. La position de la sphère est x, \({K}_{\mu }\left(t\right)=1/\sqrt{\mu \pi t/\rho {r}^{2}}\) est le noyau de mémoire du terme de Basset pour une sphère rigide avec sa viscosité relative à l'eau est infini48,52, μ = 1,016 × 1e−3 Pa·s est la viscosité dynamique de l'eau. La force nette Fnet subie par la microsphère est donnée par :

où m est la masse de la microsphère de polyéthylène.

L'ordre de l'éq. (7) est réduit et réécrit comme un système d'équations différentielles du premier ordre pour résoudre la trajectoire d'une seule microsphère en utilisant la méthode itérative de Runge-Kutta53 avec le solveur intégré MATLAB®.

Il est important de mentionner que Fnet dans Eq. (7) est pour une seule microsphère et le terme de force de rayonnement Fa ne tient pas compte de la diffusion par les particules voisines30. Le calcul de la force de rayonnement dans l'Eq. (5) suppose un fluide non visqueux car la couche de fluide visqueux ou la couche limite acoustique entourant la particule est bien inférieure au rayon de la particule54. La couche limite acoustique maximale est \(\delta =\sqrt{2\mu /\rho \omega }=0,5, \mathrm{ \mu m}\), tandis que la plage de diamètre des microsphères est de 75 à 90 μm. De plus, la viscosité du fluide est la seule force opposée à la force de rayonnement, ainsi la vitesse d'assemblage dépend de la viscosité du fluide. Dans un fluide non visqueux, une microsphère placée légèrement à l'écart d'une position d'équilibre acoustiquement stable oscillera autour de la position comme dans un système masse-ressort non amorti.

Les données à l'appui des conclusions de cette étude sont disponibles dans les fichiers d'informations supplémentaires.

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Mohamed A. Ghanem, Oleg A. Sapozhnikov et Michael R. Bailey

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Adam D. Maxwell et Michael R. Bailey

Département de génie biomédical, Université de Rochester, Rochester, NY, 14627, États-Unis

Diane Dalecki

Faculté de physique, Université d'État de Moscou, Moscou, 119991, Russie

Oleg A. Sapozhnikov

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MAG, ADM, DD et MRB ont conçu le concept. MAG a conçu et exécuté l'expérience, analysé les données et effectué une simulation numérique. ADM et OAS ont aidé à la mise en place expérimentale. MAG et OAS ont dérivé et révisé les concepts théoriques présentés. Tous les auteurs ont édité et révisé le manuscrit.

Correspondance à Mohamed A. Ghanem.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Ghanem, MA, Maxwell, AD, Dalecki, D. et al. Hologrammes de phase pour la structuration tridimensionnelle de microparticules non contraintes. Sci Rep 13, 9160 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35337-8

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Reçu : 14 février 2023

Accepté : 16 mai 2023

Publié: 06 juin 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-35337-8

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